# 习题 1.5

• a $\log X<X$ 对所有 $X>0$ 成立

  证：$\log X<X$ ， $\log X<\log 2^X$， $X<2^X$
  因为$X>0$ 时始终有$X<2^X$，证毕

• b $\log (A)^B=B\log A$

  证：令$A=2^X$，由对数定义的$X=\log A$
  左边：$\log (A)^B=XB$
  右边：$B\log A=XB$
  证毕

# 习题 1.9

• a $\sum_{i=1}^{N-2}F_i = F_N-2$

  $\sum_{i=1}^{k}F_i = F_{k+2}-2$
  当 $N=1$ 时，等式成立，假设等式成立当$1<N<k+1$ 时
  $\sum_{i=1}^{k+1}F_i = \sum_{i=1}^{k}F_i+F_{k+1}=F_{k+2}-2+F_{k+1}=F_{k+3}-2$
  对于$N=K+1$ 等式依旧成立，证毕

• b $F_N<\phi ^N$, 其中$\phi ^N=(1+\sqrt{5})/2$

  当 N=1 时，$F_1<(1+\sqrt{5})/2$，当 N=2 时，$F_2<((1+\sqrt{5})/2)^2$，满足基准情况
  假设等式成立，当$N=k+1$ 时，$F_{k+1}=F_{k}+F_{k-1}$ > $F_{k+1}<(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k-1}<(\frac{2}{1+\sqrt{5}} )(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}+(\frac{2}{1+\sqrt{5}})^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}<(\frac{6+2\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}<(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}$
  所以当$N=k+1$ 时等式成立，证毕

• c 给出斐波那契数封闭形式的准确表达式

  $f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$，即生成函数

# 习题 1.10

• a $\sum_{i=1}^{N}(2i-1)=N^2$

  对于$N=1$，$N=2$ 等式成立
  假设等式成立，当$N=k+1$ 时
  $\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=\sum_{i=1}^{k}(2i-1)+(2(k+1)-1)=k^2+(2(k+1)-1)=(k+1)^2$
  所以当$N=k+1$ 时等式成立，证毕

• b $\sum_{i=1}^{N}i^3=(\sum_{i=1}^{N}i)^2$

  对于$N=1$，$N=2$ 等式成立
  假设等式成立，当$N=k+1$ 时
  $\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\sum_{i=1}^{k}i^3+(k+1)^3=(\frac{k}{(1+k)})^2+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{2}=(\frac{(k+1)(1+(k+1))}{2})^2$
  所以当$N=k+1$ 时等式成立，证毕